Promień spektralny

Promień spektralny elementu $a$ algebry zespolonej z jedynką $A$ – liczba nieujemna $\nu _{A}(a),$ zdefiniowana wzorem

$\nu _{A}(a)=\sup\{|z|\colon z\in \sigma _{A}(a)\},$

gdzie symbol $\sigma _{A}(a)$ oznacza widmo elementu $a$ w algebrze $A,$ tzn. zbiór

$\sigma _{A}(a)=\{z\in \mathbb {C} \colon ze_{A}-a\notin {\mbox{GL}}(A)\},$

przy czym $\mathrm {GL} (A)$ oznacza grupę elementów odwracalnych w algebrze $A$ oraz $e_{A}$ jedynkę w tej algebrze. W przypadku, gdy widmo elementu $a$ jest puste, definiuje się

$\nu _{A}(a)=0.$

Pojęcie promienia spektralnego ma również sens dla elementów algebr, które nie mają jedynki – w tym przypadku każdy element $a$ algebry $A,$ która nie ma jedynki utożsamia się z elementem algebry $A^{\#},$ powstałej z $A$ poprzez dołączenie jedynki.

Podstawowe własności. Wzór Gelfanda

Niech $A$ będzie zespoloną algebrą Banacha z jedynką oraz niech $a$ będzie dowolnym elementem $A.$ Wówczas

• widmo $\sigma _{A}(a)$ jest niepustym, zwartym podzbiorem płaszczyzny zespolonej; w szczególności, jeżeli $a\neq 0,$ to promień spektralny $\nu _{A}(a)$ jest dodatni.
• dla każdej liczby naturalnej $k$ oraz dla każdego $r>\nu _{A}(a)$

$a^{k}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\{|z|=r\}}\zeta ^{k}(\zeta e_{A}-a)^{-1}d\zeta ,$

• $\nu _{A}(a)=\inf\{\|a^{n}\|^{\frac {1}{n}}\colon \;n\in \mathbb {N} \}=\lim _{n\to \infty }\|a^{n}\|^{\frac {1}{n}}.$

Ostatni wzór powyżej nazywany jest wzorem Gelfanda; został on nazwany na cześć Israela M. Gelfanda, który udowodnił go w roku 1941. Ze zwartości widma elementów algeby Banacha wynika, że

$\nu _{A}(a)=\max\{|z|\colon z\in \sigma _{A}(a)\}.$

Jeżeli $a$ jest zespoloną macierzą kwadratową, to jej promień spektralny jest największą liczbą spośród modułów jej wartości własnych.

Własności

Operatory liniowe i ograniczone działające na ustalonej przestrzeni unormowanej $E$ tworzą algebrę unormowaną ze składaniem operatorów jako mnożeniem oraz normą operatorową. Poniżej $E$ jest ustaloną przestrzenią unormowaną o wymiarze co najmniej 1 oraz $T,T_{1},T_{2}\colon E\to E$ są operatorami liniowymi i ciągłymi. W oznaczeniach promienia spektralnego i widma symbol algebry został pominięty.

• Jeżeli $\lambda$ jest skalarem, to

$\nu (\lambda T)=|\lambda |\nu (T).$

• Jeżeli $k$ jest liczbą naturalną, to

$\nu (T^{k})=\nu (T)^{k}.$

• $\nu (T_{1}T_{2})=\nu (T_{2}T_{1}),$ jeżeli ponadto $T_{1}T_{2}=T_{2}T_{1},$ to

$\nu (T_{1}T_{2})\leqslant \nu (T_{1})\nu (T_{2}),$

$\nu (T_{1}+T_{2})\leqslant \nu (T_{1})+\nu (T_{2}).$

• Jeżeli $E$ jest przestrzenią Hilberta oraz $T$ jest operatorem normalnym, to

$\nu (T)=\|T\|.$

Promień spektralny w ilorazowych C*-algebrach

Niech $A$ będzie C*-algebrą oraz nieh $I\subseteq A$ będzie domkniętym ideałem (dwustronnym} w $A$). Niech $\pi \colon A\to A/I$ oznacza kanoniczne odwzorowanie ilorazowe, tj. $\pi (x)=[x](x\in A).$ Wówczas dla dowolnego $x\in A$ oraz liczby naturalnej $k$ zachodzą wzory

$\|\pi (x^{k})\|=\inf _{y\in I}\|(x+y)^{k}\|$

oraz

$\nu {\big (}\pi (x){\big )}=\inf _{y\in I}\nu (x+y).$

Jest to twierdzenie udowodnione przez G.K. Pedersena.

Bibliografia

• H.G. Dales, Banach algebras and automatic continuity, Clarendon Press, Oxford 2000, s. 78, 183, 193.